数学应该是一门科学……吧？

是数学科学吗答案一方面取决于什么是数学，另一方面取决于什么是科学一些受人尊敬的科学哲学家会给出否定的答案，而另一些人则坚信答案是肯定的

所以在回答问题之前，我们需要对问题中每个单词的意思达成共识。

什么是科学。

定义科学本身是一个相当棘手的问题人们说科学和科学很容易，但对于大多数人来说，很难提供一个自我解释的答案来说明什么是科学问题，什么不是

我向一位大学教授的朋友安德鲁·利亚斯问过这个问题，他给了我以下的回答:

科学是认识论的一种形式就像任何好的认识论一样，它试图区分真陈述和假陈述，从而实现知识的积累科学和其他认识论的一个主要区别是，它是a)系统的和b)非教条的一门正确的科学必须有证明其主张的方法和识别并拒绝虚假主张的方法这些方法也要系统化

我们先认清这个定义，也认清这里的真与假是与外面世界的客观现实相一致的。

数学似乎并不符合这个定义:公理非常接近教条，它似乎并不关心真假，甚至不关心外界，有数学证明，但似乎没有实验，数学不遵循科学方法可是，事实真的是这样吗

一些历史

大多数人从未接触过现代数学研究人们可能知道数学是处理方法，算法和规则的集合，也可能知道欧几里德的公理模型(引理，证明，定理，证明，推论，证明，所有这些都是基于已知的抽象概念和不证自明的公理)但实际上，数学并不是以上两者，虽然有时也接近这些直观印象

直到19世纪，从事抽象数学的人才被称为几何学家他们通常是哲学家，业余爱好者或物理学家和数学家，利用空闲时间研究相关内容他的主要数学著作要么涉及类似欧几里得的突破，要么总结解决具体问题的方法和算法几乎所有做数学的人也在做物理事实上，直到19世纪初，最著名的数学家都以某种方式与物理联系在一起:牛顿，伯努利，傅立叶，甚至费马，数学家高斯王子是正式的天文学家他在物理学方面做了很多工作那时候数学和物理混在一起

唯一不能归入以上类别的数学是数论，在高斯里程碑式的算术研究出来之前，数论一直被认为是休闲数学这不是一个严肃的学习，而是一个游戏

在接下来的19世纪，一个转折点出现了数学开始发展成为一门独立的学科一方面，这与过去积累的一些问题有关:微积分中的基本问题，用幼稚直观的概念证明带来的困难，非欧几何的发现另一方面也有赖于新思想，新方法的爆发:群论，复分析，代数的开始，以及本世纪末朴素集合论的发展和存在性非结构证明的出现(最著名的证明是希尔伯特的有限基)

在这场危机中，物理学和数学之间出现了裂痕虽然大多数数学家仍然致力于解决源于物理的问题，大多数物理学家仍然解决数学问题，但侧重点不同一般来说，物理学家不太关心基本问题，因为微积分及其推导显然是有效的这些困难，悖论和矛盾，哲学家可能会感兴趣，但它们并不是人们在真实问题中可能遇到的东西可是，数学家们非常关心这些问题，并努力将他们的建筑建立在坚实的基础上

在这场危机中，出现了两个主要的数学思想流派，克罗内克学派和希尔伯特学派他们都同意数学需要建立在更坚实的基础上克罗内克学派认为算法和处理方法是数学的核心这些算法或方法来自于一些基于经验现实的明确定义的概念这里的经验必须模糊理解:克罗内克的名言是上帝给了我们整数，剩下的都是人的工作，也就是说他认为整数集是一种经验现实他们被称为建构主义者，直觉主义者或形式主义者对于希尔伯特学派来说，自洽和兴趣是最高标准一个数学理论应该建立在明确陈述的公理和规则之上，但是问公理是真还是假是没有意义的在他们看来，唯一必要的问题是:(I)是否可能用公理和规则来证明一个命题以及它是否是一个命题(二)由此产生的理论是否有趣如果分别给出否和是的答案，那么这个理论将被认为是可以接受的(之所以问第一个问题，是因为在经典逻辑的规则下，如果一个命题及其否定都可以被证明，那么任何事情都可以被证明这样的理论显然是无聊无用的

戴维·希尔伯特

可是，这些公理不一定与现实有任何关系希尔伯特曾经说过，在几何学的公理系统中，用桌子，椅子和啤酒杯来代替点，线，面，一定总是可能的也就是说，公理的实际意义是无关紧要的，它们的语义内容在数学中不起作用

最后，大多数数学家接受了希尔伯特学派的观点主流数学家将数学描述为遵循经典欧几里得公理的模型也许在布尔巴基的作品中可以找到一些典型的例子也极大地影响了数学论文的写作和高等数学的教学方法稍后将对此进行更详细的解释

现在的数学大致分为两种:应用数学和纯数学应用数学是从实际问题中抽象出来的数学，比如统计学，微分方程纯数学处理由理论框架产生的问题，通常只涉及数学可是，这种差异很大程度上是人为的比如数论，曾经被认为是最纯粹的纯数学，是永远不可能有实际应用的数学分支可是，最近几年来，它已成为现代密码学的基石，并发展出一个非常强大的应用分支

为什么要谈历史。

介绍以上有什么意义嗯，重点是希尔伯特学派对20世纪和今天的数学影响很大当一个人学习数学时，这种影响反过来有助于产生和推崇一种特定的写作风格这就是很多人都知道的枯燥的定义—引理—定理—推理风格

这种风格的问题在于它掩盖了数学是如何完成的从事专业研究的数学家，不是先写定义，再写定理及其证明，中间把一些关键步骤隔成引理在研究论文和书籍中报道数学的方式与实际研究数学的方式大相径庭

这种流行的风格导致除了专业数学研究者以外的所有人都偏向于数学的研究方法这反过来导致一些哲学家得出结论，数学不是一门科学，因为它的方法与其他实证科学的方法如此不同在下一篇文章中，我将论证，一旦我们超越了写作风格所提供的表象，真正接触到数学研究方法，那么这个结论其实是毫无根据的

这种风格的另一个影响是，从一开始，特别是在Gaarder，图灵和Church的工作之后，希尔伯特学派就抛弃了真与假的概念，转而支持可证，可证伪和不可判定的概念我们对科学的定义非常强调真理，所以似乎也可以得出这样的结论:只要数学无论如何似乎都不在乎真与假，就不能算是科学，也不能算是科学探索

数学到底是不是科学。

高斯称数学为科学的女王和仆人几乎所有人都至少认同仆人这一部分:不可否认，数学在科学中起着重要的辅助作用这种支持不仅在物理或化学领域越来越明显，在其他科学领域也是如此它是医学从艺术向科学转变的基石对于大多数社会科学来说，用的数学越多，研究的可重复性越好，也就越科学可是，数学是一门科学的论点似乎缺乏支持

首先，数学是否遵循观察，假设，实验，检验，验证的科学方法。

虽然有些人可能会感到惊讶，但答案是肯定的这就是为什么数学论文的大众化风格不利于大众对研究数学的准确理解真正做研究的数学家，不会先写一个定理，再去证明她通常像自然科学家一样探索未知她会思考一些具体的例子，检查它们是否有特殊性质，然后问一些一般的和具体的问题，尽量根据具体案例来回答，接下来，她会给出一个大概的说法(假设)，并继续试图证明(实验)，有时，如果失败了，她会试图构建一个反例(证伪和测试)

对于特别困难的问题，给出具体的例子，被视为一种有价值的追求，类似于理论困难的实验确认比如，检查一个大范围内的所有奇数是否都是完全数，可能不是奇完全数不存在的数学证据，但还是有帮助的证实ABC猜想隐含的一些推论，并不能证明猜想本身，但会给数学家一些街誉类似的例子还有很多

另一方面，数学和物理有一些显著的区别:虽然有观测，但似乎没有对真实世界的观测数学家总是要求证明，这是比其他任何科学都严格得多的标准！以牛顿万有引力定律为例声称这个定律在任何地方都适用，数学家永远不会满意对于这样的说法，没有反例是不够的只有符合数学标准的证明才是正确的比如和费马大定理对比，350年来找不到费马大定理的反例或证明，但也不能作为真或假的(数学)证据这真的很烦只有当证明完成(并且经受住了检验和验证)时，猜想才会被接受再比如哥德巴赫猜想，得到了广泛的验证，虽然这种验证具有指示性，但还不够奇完全数的存在也是如此有一个关于数学严谨性的笑话一位数学家，一位物理学家和一位工程师乘火车穿越苏格兰，这时他们看到远处有一只黑羊工程师马上断言在苏格兰，羊是黑色的物理学家回答说:不，苏格兰有些羊是黑色的然后数学家温和地纠正他:在苏格兰，至少有一只羊是黑色的.....至少有一面是黑的

途远网络

那么:对于证明的需要和实际观察的明显不足，应该如何处理。

对于第一点，我不认为数学中对严格证明的需求真的将数学与其他科学区分开来只是数学结果必须符合比物理更严格的标准但其他科学也设置了自己的门槛，以便被接受:不超过一定数量的错误，一定程度的统计置信度，充分和多样的观察和预测等数学标准只有程度上的不同，没有本质上的不同

看第二点公理是武断的说法吗它们是否被教条地遵循，从未被质疑或修改数学家真的在乎「真」和「假」吗如果是外部世界的真和假呢

希尔伯特学派提出的理想化数学模型认为，上述问题的答案都是是的，它们是和是的，但它们是任意的，我们可以随意把公理换成其他系统，不在乎和不在乎但是像所有理想化的模型一样，这不是一个准确的表示

公理可以是任意的陈述，但几乎从来不是数学家通常有一些理由提出一组特定的公理而不是其他公理它们与其说是武断的陈述，不如说是代表特定发展的基本规则，是作为数学家工作基础的最低限度的一致主张通常，这些公理是对实际观察的提炼，或者试图以适合数学处理的方式抽象现实世界基于几个世纪的工作和观察，微积分的思想已经被提炼为一系列关于实数的公理这些公理是18，19世纪数学家在避免悖论，实用性和易用性之间做出的妥协

在某种程度上，这些公理是无懈可击的，因为从数学的角度来看，它们在经验意义上的真实性几乎没有问题在理论和现实世界之间有不断的反馈和微调

另外，虽然确实数学通常不说真和假，而是说可证和可证伪，但这并不意味着它与外界没有联系或应用数学定理从来都不是简单的陈述，相反，他们总是暗示所有的数学定理都是如果，那么(会得出这个结论)的形式况且，每当我们用特定的模型解释理论时，它都是正确的

正如希尔伯特在《几何评论》中指出的，一个公理系统不应该依赖于所有未定义的术语或公理的任何特定含义可是，这意味着如果我们从这些公理中得出一些数学上正确的结论，那么它们在任何解释中都是正确的如果我们把一个几何定理中的点解释为桌子，线解释为椅子，平面解释为啤酒杯，那么这个定理就为我们提供了一个关于桌子，椅子和啤酒杯的正确解释这样，数学必然与现实世界相关，也有能力检验和检查这种解释的有效性此外，即使我们认识到，我们可能赋予诸如点，线和平面等未定义术语的语义不应在证明中发挥作用，但这些语义通常会启发证明和定理即使圆和线是证明本身不应该包含任何语义内容的术语，数学家也会画一个圆和一条线来帮助确定想法或启发证明

数学所要求的证明标准，实际上保证了只要前提为真，结论就是真的，如果结论是错的，至少有一个前提是假的依靠可证明性而不是真理为我们提供了灵活性和确定性通过依赖抽象而非具体的考虑，我们确保(或至少试图确保)我们的推论适用于任何具体的解释

大多数数学家在做数学的时候，通常会有一些具体的解释但是，我们可能会在证明中不经意地使用这个解释的特定属性，得到在其他解释中无效的结果欧几里德曾经陷入这样的陷阱他的《几何原本》第一卷中的命题1依赖于一个显而易见的事实:两个特定的圆段有一个共同点可是，这个显而易见的事实实际上并不是从公理中推导出来的欧几里德的理论需要一些新的公理才能成为真正的定理只有当所有的公理都为真时，他的理论才会为真

正是由于这种危险，数学发展了它的证明标准就像其他科学根据自己的经验发展自己的科学一样在这方面，数学也表现出一门科学的特征

结论

数学是科学吗我想是的它遵循科学的方法虽然看起来(有时声称)它活在自己的小世界里，不关心现实，但事实是，即使以最纯粹的名义，它也会密切关注现实的应用和启发毫无疑问，在应用的幌子下，它是贴近现实的，它的假设，问题和结论都是在这种背景下不断被检验和完善的但它不同于其他科学，它的标准更高，更有确定性但这部分是数学作为一门科学的强项，而不是一个不合格的属性

那么，回到我们对科学的定义，数学符合要求吗它试图区分正确的陈述和错误的陈述但这里必须明白，真陈述并不是孤立地指一个定理或引理，而是指一个定理给出的隐含陈述，即只要在某个解释中所有公理和假设都为真，那么该定理结论的相应解释也为真同样，假陈述是指至少有一个解释使公理和假设为真，同时使结论为假

毫无疑问，数学通过系统的证明实现了这一点任何人都可以检查认证过程他们被鼓励重复实验，逐行检查证明过程，并认识到其有效性曾经被认为是正确的结果突然被一位数学家指出是论证中的一个缺陷它确实发生了有时候整个证明过程会被否定，有时候只是需要修正

通过使用证明，数学有一个非常系统的方法来验证其主张:可以通过提出反例或指出证据中的疏漏来发现错误大多数人同意这种系统的方法

最后，要确认数学真的符合科学定义的要求，它对科学方法的特殊解释，它的特殊门槛，可能在量上不同于其他科学，但在质上是一样的此外，它在科学中发挥着独特的作用，是许多其他科学方面不可或缺的工具

原文链接:数学是科学吗。

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